MathGenix 2026년 고3 9월 모의고사 대비 시험 03 (미적분) 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

(가)의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x)+2xg(x)=12x^3-18x^2+4x$이다. 여기에 (나)의 조건 $f(x)=x^2{g}^{\prime }(x)$를 대입하면 $x^2{g}^{\prime }(x)+2xg(x)=12x^3-18x^2+4x$이다.
곱의 미분법에 의해 $x^2{g}^{\prime }(x)+2xg(x)=\{x^{2}g(x){\}}^{\prime }$이므로, $\{x^{2}g(x){\}}^{\prime }=12x^3-18x^2+4x$이다. 양변을 $x$에 대하여 적분하면 $x^{2}g(x)=3x^4-6x^3+2x^2+C$ (단, $C$는 적분상수)이다. $g(x)$는 다항함수이므로 $x^{2}g(x)$는 $x^2$으로 나누어떨어져야 하므로 $C=0$이다. 따라서 $g(x)=3x^2-6x+2$이다.
구하는 값은 ${\int }_{-1}^{2}g(x)dx$$={\int }_{-1}^2(3x^2-6x+2)dx$$=[x^3-3x^2+2x{]}_{-1}^2$이다. 정적분의 계산 결과는 $(2^3-3·2^2+2·2)-\{(-1{)}^3-3(-1{)}^2+2(-1)\}$$=(8-12+4)-(-1-3-2)$$=0-(-6)$$=6$이다.

조건 (가)의 양변에 $x=2$를 대입하면 $0=2f(2)-2^2-4$이므로 $f(2)=4$이다. 조건 (가)의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)-2x$이므로 $x{f}^{\prime }(x)=2x$이다. $f(x)$가 다항함수이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{\prime }(x)=2$이다. 따라서 $f(x)=2x+C$이고 $f(2)=4$이므로 $f(x)=2x$이다.

조건 (나)에서 $f^{\prime }(x)=2$이고 $g(x)=G^{\prime }(x)$이므로, 좌변은 $2G(x)+2x{G}^{\prime }(x)=(2xG(x){)}^{\prime }$이다. 이는 곱의 미분법에 의해 $(f(x)G(x){)}^{\prime }$와 같다. 즉, $(f(x)G(x){)}^{\prime }=8x^3-12x$이다. 양변을 $x$에 대하여 적분하면 $f(x)G(x)=2x^4-6x^2+C_1$ (단, $C_1$은 적분상수)이다. $f(x)=2x$를 대입하면 $2xG(x)=2x^4-6x^2+C_1$이고, $G(x)$가 다항함수이므로 이 등식은 항등식이다. 양변에 $x=0$을 대입하면 $C_1=0$임을 알 수 있다. 따라서 $2xG(x)=2x^4-6x^2$이고, $G(x)=x^3-3x$이다. $g(x)=G^{\prime }(x)=3x^2-3$이다.

구하는 값은 ${\int }_0^{2}g(x)dx$$={\int }_0^2(3x^2-3)dx$$=[x^3-3x{]}_0^2$$=(2^3-3·2)-0$$=8-6$$=2$이다. 따라서 정답은 $2$이다.

$H(x)=F(x)-f(x)$라 하면, 모든 실수 $x$에 대해 $H(x)\ge 0$입니다. $F^{\prime }(x)=f(x)$이므로 $H^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)=f(x)-f^{\prime }(x)$입니다. $H(x)$의 최솟값은 극소점이거나 구간의 경계에서 발생합니다.
$x>0$일 때 $f(x)=(k-x^2)e^{-x}$, $f^{\prime }(x)=(x^2-2x-k)e^{-x}$이므로 $H^{\prime }(x)=(-2x^2+2x+2k)e^{-x}$입니다. $x<0$일 때 $f(x)=(k-x^2)e^x$, $f^{\prime }(x)=(-x^2-2x+k)e^x$이므로 $H^{\prime }(x)=(2x)e^x$입니다. $x<0$에서 $H^{\prime }(x)<0$이므로 $H(x)$는 감소하고, $x>0$에서는 $H(x)$가 증가하다 감소하므로, $H(x)$의 최솟값은 $H(0)$ 또는 $x\to \pm \infty$일 때의 극한값 중에서 결정됩니다.

$f(x)$의 한 부정적분 $F(x)$는 적분상수 $C$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. (연속 조건 반영)
$F(x)=\{\begin{array}{cc}(x^2+2x+2-k)e^{-x}+C\hfill & (x\ge 0)\hfill \\ (-x^2+2x-2+k)e^x+C+4-2k\hfill & (x<0)\hfill \end{array}$
$H(x)=F(x)-f(x)$이므로, ${lim}_{x\to \infty }H(x)=C$, ${lim}_{x\to -\infty }H(x)=C+4-2k$입니다.
$H(0)=F(0)-f(0)=(2-k+C)-k=C+2-2k$입니다.
$H(x)\ge 0$이려면 $C\ge 0$, $C\ge 2k-4$, $C\ge 2k-2$를 모두 만족해야 합니다. 이 중 가장 강한 조건은 $C\ge 0$과 $C\ge 2k-2$입니다.
(i) $0<k\le 1$일 때, $2k-2\le 0$이므로 $C_{min}=0$입니다. 이때 $F(0)$의 최솟값 $g(k)=(2-k)+C_{min}=2-k$입니다.
(ii) $k>1$일 때, $2k-2>0$이므로 $C_{min}=2k-2$입니다. 이때 $F(0)$의 최솟값 $g(k)=(2-k)+C_{min}=(2-k)+(2k-2)=k$입니다.

함수 $g(k)=\{\begin{array}{cc}2-k\hfill & (0<k\le 1)\hfill \\ k\hfill & (k>1)\hfill \end{array}$는 $k=1$에서 연속이지만, 좌미분계수는 $-1$이고 우미분계수는 $1$이므로 $k=1$에서 미분가능하지 않습니다. 따라서 $a=1$입니다.
구하는 값은 $g(\frac{a}{3})+g(3a)=g(\frac{1}{3})+g(3)$입니다.
$g(\frac{1}{3})=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$이고 $g(3)=3$이므로, $g(\frac{1}{3})+g(3)=\frac{5}{3}+3=\frac{14}{3}$입니다.