MathGenix 2026년 고3 9월 모의고사 대비 시험 03 (확률과 통계) 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

(가)의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x)+2xg(x)=12x^3-18x^2+4x$이다. 여기에 (나)의 조건 $f(x)=x^2{g}^{\prime }(x)$를 대입하면 $x^2{g}^{\prime }(x)+2xg(x)=12x^3-18x^2+4x$이다.
곱의 미분법에 의해 $x^2{g}^{\prime }(x)+2xg(x)=\{x^{2}g(x){\}}^{\prime }$이므로, $\{x^{2}g(x){\}}^{\prime }=12x^3-18x^2+4x$이다. 양변을 $x$에 대하여 적분하면 $x^{2}g(x)=3x^4-6x^3+2x^2+C$ (단, $C$는 적분상수)이다. $g(x)$는 다항함수이므로 $x^{2}g(x)$는 $x^2$으로 나누어떨어져야 하므로 $C=0$이다. 따라서 $g(x)=3x^2-6x+2$이다.
구하는 값은 ${\int }_{-1}^{2}g(x)dx$$={\int }_{-1}^2(3x^2-6x+2)dx$$=[x^3-3x^2+2x{]}_{-1}^2$이다. 정적분의 계산 결과는 $(2^3-3·2^2+2·2)-\{(-1{)}^3-3(-1{)}^2+2(-1)\}$$=(8-12+4)-(-1-3-2)$$=0-(-6)$$=6$이다.

조건 (가)의 양변에 $x=2$를 대입하면 $0=2f(2)-2^2-4$이므로 $f(2)=4$이다. 조건 (가)의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)-2x$이므로 $x{f}^{\prime }(x)=2x$이다. $f(x)$가 다항함수이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{\prime }(x)=2$이다. 따라서 $f(x)=2x+C$이고 $f(2)=4$이므로 $f(x)=2x$이다.

조건 (나)에서 $f^{\prime }(x)=2$이고 $g(x)=G^{\prime }(x)$이므로, 좌변은 $2G(x)+2x{G}^{\prime }(x)=(2xG(x){)}^{\prime }$이다. 이는 곱의 미분법에 의해 $(f(x)G(x){)}^{\prime }$와 같다. 즉, $(f(x)G(x){)}^{\prime }=8x^3-12x$이다. 양변을 $x$에 대하여 적분하면 $f(x)G(x)=2x^4-6x^2+C_1$ (단, $C_1$은 적분상수)이다. $f(x)=2x$를 대입하면 $2xG(x)=2x^4-6x^2+C_1$이고, $G(x)$가 다항함수이므로 이 등식은 항등식이다. 양변에 $x=0$을 대입하면 $C_1=0$임을 알 수 있다. 따라서 $2xG(x)=2x^4-6x^2$이고, $G(x)=x^3-3x$이다. $g(x)=G^{\prime }(x)=3x^2-3$이다.

구하는 값은 ${\int }_0^{2}g(x)dx$$={\int }_0^2(3x^2-3)dx$$=[x^3-3x{]}_0^2$$=(2^3-3·2)-0$$=8-6$$=2$이다. 따라서 정답은 $2$이다.

학생 A, B, C가 받는 빨간색 사탕의 개수를 각각 $x_A,x_B,x_C$, 파란색 사탕의 개수를 각각 $y_A,y_B,y_C$라 하면 $x_A+x_B+x_C=4$, $y_A+y_B+y_C=5$이다. (단, $x_i,y_i$는 음이 아닌 정수)
조건 (가)에 따라 $x_A>x_B$를 만족하는 $(x_A,x_B,x_C)$의 순서쌍을 구하면 다음과 같다.
(1, 0, 3), (2, 0, 2), (2, 1, 1), (3, 0, 1), (3, 1, 0), (4, 0, 0)

각 학생이 받는 전체 사탕의 개수는 $x_i+y_i$이다. 전체 사탕의 총합은 $4+5=9$이므로 세 학생이 받는 사탕 개수의 합 $(x_A+y_A)+(x_B+y_B)+(x_C+y_C)=9$이다. 조건 (나)에 따라 세 학생 중 한 명만 홀수 개의 사탕을 받으려면, 세 학생이 받는 사탕 개수의 홀짝성은 (홀수, 짝수, 짝수)의 순열 중 하나여야 한다.

각 $(x_A,x_B,x_C)$의 경우에 대해, 조건 (나)를 만족하는 $(y_A,y_B,y_C)$의 경우의 수를 구한다.
1. $(x_A,x_B,x_C)=(1,0,3)$ (홀,짝,홀): $(x_i+y_i)$의 홀짝성이 (홀,짝,짝) 순열이 되려면 $(y_i)$의 홀짝성은 (짝,짝,홀), (홀,홀,홀), (홀,짝,짝) 중 하나여야 한다. $y_A+y_B+y_C=5$이므로 가능한 $(y_i)$의 홀짝성은 (홀,홀,홀) 또는 (홀,짝,짝)의 순열이다.
– $(y_A,y_B,y_C)$가 (짝,짝,홀)인 경우: $3H_2=6$가지
– $(y_A,y_B,y_C)$가 (홀,홀,홀)인 경우: $3H_1=3$가지
– $(y_A,y_B,y_C)$가 (홀,짝,짝)인 경우: $3H_2=6$가지. 따라서 이 경우의 수는 $6+3+6=15$이다.
2. $(x_A,x_B,x_C)=(2,0,2)$ (짝,짝,짝): $(y_i)$의 홀짝성이 (홀,짝,짝)의 순열이어야 한다. 이 경우의 수는 $3imes{}_3{H}_2=18$이다.
3. $(x_A,x_B,x_C)=(2,1,1)$ (짝,홀,홀): $(y_i)$의 홀짝성이 (홀,홀,홀), (짝,짝,홀), (짝,홀,짝) 중 하나여야 한다.
– $(y_A,y_B,y_C)$가 (홀,홀,홀)인 경우: $3H_1=3$가지
– $(y_A,y_B,y_C)$가 (짝,짝,홀)인 경우: $3H_2=6$가지
– $(y_A,y_B,y_C)$가 (짝,홀,짝)인 경우: $3H_2=6$가지. 따라서 이 경우의 수는 $3+6+6=15$이다.
4. $(x_A,x_B,x_C)=(3,0,1)$ (홀,짝,홀): 1번 경우와 대칭적으로 경우의 수는 $15$이다.
5. $(x_A,x_B,x_C)=(3,1,0)$ (홀,홀,짝): 3번 경우와 대칭적으로 경우의 수는 $15$이다.
6. $(x_A,x_B,x_C)=(4,0,0)$ (짝,짝,짝): 2번 경우와 같이 경우의 수는 $18$이다.

따라서 구하는 모든 경우의 수는 $15+18+15+15+15+18=96$이다.

[4점]