MathGenix 2026년 고2 9월 모의고사 대비 시험 03 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

로그방정식 ${\log }_4(x-1)+{\log }_4(x+5)=2$의 진수 조건에서 $x-1>0$이고 $x+5>0$이므로 $x>1$이다. 방정식을 정리하면 ${\log }_4((x-1)(x+5))=2$이므로 $(x-1)(x+5)=4^2=16$이다. 즉, $x^2+4x-5=16$에서 $x^2+4x-21=0$이고 $(x+7)(x-3)=0$이므로 $x>1$인 근은 $p=3$이다.
함수 $f(x)=9^{x-a}-2·3^{x-a+1}$에서 $3^{x-a}=t$ ($t>0$)로 치환하면 $f(x)$는 $t$에 대한 함수 $g(t)=t^2-6t=(t-3{)}^2-9$로 나타낼 수 있다.
$g(t)$는 $t=3$일 때 최솟값 $-9$를 가지므로 $b=-9$이다. $f(x)$는 $x=p=3$에서 최솟값을 가지므로, $t=3^{3-a}=3$이어야 한다. 따라서 $3-a=1$이므로 $a=2$이다.
최종적으로 구하는 값은 $a+b=2+(-9)=-7$이다.

주어진 조건 $a={\log }_{3}54-{\log }_{3}2$에서 로그의 뺄셈 성질에 의해 $a={\log }_3\frac{54}{2}={\log }_{3}27$이다. 진수 $27$은 $3^3$이므로, 로그의 정의에 따라 $a={\log }_3{3}^3=3$이다. 따라서 구하는 값은 $3^a=3^3=27$이다.

조건 (가), (나)에 의해 $a_3=0$이다. $a_3$은 $a_2$의 값으로부터 결정되는데, $a_2\ge 0$이면 $a_3=a_2-d=0$이고 $a_2<0$이면 $a_3=r{a}_2=0$이다. 이를 $r$의 값을 기준으로 경우를 나누어 분석할 수 있다.

1. $r=0$인 경우:
$a_2$의 부호에 관계없이 $a_3=0$이 될 수 있다. 이 경우 수열의 항을 구해보면 $a_4=a_3-d=-d$이다. $d>0$이므로 $a_4<0$이다. $a_5=r{a}_4=0·(-d)=0$이고, $a_6=a_5-d=-d$이다. 조건 (나)에서 $a_6=-18$이므로 $d=18$이다. 이 수열은 $a_3=0,a_4=-18,a_5=0,a_6=-18$ 등으로 인접한 항이 같은 경우가 없어 조건 (다)를 만족하므로 $d=18$은 가능한 값이다.

2. $r\ne 0$인 경우:
만약 $a_2<0$이면 $a_3=r{a}_2=0$에서 $a_2=0$이 되므로 모순이다. 따라서 $a_2\ge 0$이어야 한다. $a_3=a_2-d=0$에서 $a_2=d$이다. $d$는 양의 정수이므로 $a_2>0$이다. 이어서 항을 구하면 $a_4=a_3-d=-d$이고 $a_5=r{a}_4=-rd$이다.
(i) $a_5\ge 0$인 경우: $d>0$이므로 $r<0$이다. $a_6=a_5-d=-rd-d=-d(r+1)=-18$에서 $d(r+1)=18$이다. $d>0$이므로 $r+1>0$, 즉 $r>-1$이어야 한다. $r<0$인 정수 $r$은 존재하지 않으므로 모순이다.
(ii) $a_5<0$인 경우: $d>0$이므로 $r>0$이다. $a_6=r{a}_5=r(-rd)=-r^{2}d=-18$에서 $r^{2}d=18$이다. $r$은 양의 정수이므로 $r^2$은 18의 제곱수인 약수, 즉 $r^2=1$ 또는 $r^2=9$이다.
– $r^2=1$이면 $r=1,d=18$이다. 이때 $a_4=-18,a_5=1·(-18)=-18$이므로 $a_4=a_5$가 되어 조건 (다)에 위배된다.
– $r^2=9$이면 $r=3,d=2$이다. 이때 $a_2=2,a_3=0,a_4=-2,a_5=-6,a_6=-18$이므로 모든 조건을 만족한다. 따라서 $d=2$는 가능한 값이다.

위의 경우들을 종합하면 가능한 $d$의 값은 $18$과 $2$이다. 따라서 모든 $d$의 값의 합은 $18+2=20$이다.