MathGenix 2026년 고3 9월 모의고사 대비 시험 04 (확률과 통계) 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$는 기함수이다. 함수 $g(x)$를 $g(x)={\int }_0^x(|f(t)|-|t|)dt$ 로 정의할 때, 방정식 $g^{\prime }(x)=0$의 양의 실근의 집합이 $\{1,2\}$이다. $f(3)$의 값은? [4점]

첫째항이 1인 수열 $a_n$과 양수 $k$가 모든 자연수 $n$에 대하여
$(a_{n+1}-a_n-k)(a_{n+1}+a_n)=0$
을 만족시킨다. ${\sum }_{n=1}^4{a}_n=6$이고 $a_5<a_1$일 때, 가능한 모든 양수 $k$의 값의 합을 구하시오. [4점]

학생 갑의 주머니에는 1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 4장의 카드가 있고, 학생 을의 주머니에는 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적힌 6장의 카드가 있다. 두 학생이 다음 규칙에 따라 게임을 한다.

(가) 갑과 을은 각자의 주머니에서 임의로 카드를 한 장씩 꺼낸다.
(나) 갑은 꺼낸 카드의 수가 홀수일 때만 카드를 내려놓고, 을은 꺼낸 카드의 수가 자연수 $m$의 약수일 때만 카드를 내려놓는다.
(다) 승패는 다음과 같이 결정한다.
• 카드를 내려놓은 학생이 2명이면, 꺼낸 카드의 수가 짝수인 학생이 승리한다. 두 학생이 꺼낸 카드의 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수이면 무승부로 한다.
• 카드를 내려놓은 학생이 1명이면, 카드를 내려놓은 학생이 승리한다.
• 카드를 내려놓은 학생이 없으면, 갑이 승리한다.

게임에서 갑이 승리할 확률을 $p$, 을이 승리할 확률을 $q$라 하자. $p=2q$가 성립할 때, $36(m-q)$의 값을 구하시오. (단, $m$은 $10\le m\le 20$인 자연수이다.) [4점]