MathGenix 2026년 고3 9월 모의고사 대비 시험 04 (미적분) 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

함수 $g(x)={\int }_0^x(|f(t)|-|t|)dt$를 미분하면 $g^{\prime }(x)=|f(x)|-|x|$이다. 따라서 방정식 $g^{\prime }(x)=0$의 근은 $|f(x)|=|x|$, 즉 $f(x)=x$ 또는 $f(x)=-x$를 만족시키는 $x$의 값이다.

$f(x)$가 최고차항의 계수가 양수인 기함수이므로 $f(x)=a{x}^3+bx$ ($a>0$)로 놓을 수 있다. $f(x)$가 기함수이고 $y=x$, $y=-x$도 모두 기함수이므로, 양의 실근이 $1,2$이면 음의 실근은 $-1,-2$이다. 방정식 $f(x)=x$와 $f(x)=-x$가 각각 하나의 양의 실근을 나누어 가져야 한다.

(i) $f(1)=1$이고 $f(2)=-2$인 경우:
$f(1)=a+b=1$
$f(2)=8a+2b=-2$에서 $4a+b=-1$
두 식을 연립하여 풀면 $3a=-2$이므로 $a=-\frac{2}{3}$이다. 이는 최고차항의 계수가 양수라는 조건에 위배된다.

(ii) $f(1)=-1$이고 $f(2)=2$인 경우:
$f(1)=a+b=-1$
$f(2)=8a+2b=2$에서 $4a+b=1$
두 식을 연립하여 풀면 $3a=2$이므로 $a=\frac{2}{3}$이다. $a=\frac{2}{3}>0$이므로 조건을 만족시킨다. 이때 $b=-1-a=-1-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$이다.
따라서 함수 $f(x)$는 $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{5}{3}x$이다.

구하는 값은 $f(3)$이므로 $f(3)=\frac{2}{3}(3{)}^3-\frac{5}{3}(3)=\frac{2}{3}(27)-5=18-5=13$이다.

따라서 $f(3)$의 값은 $13$이다.

주어진 식에서 각 자연수 n에 대하여
$a_{n+1}=a_n+k$ 또는 $a_{n+1}=-a_n$이다.

$a_1=1$이고 $a_1+a_2+a_3+a_4=6$이므로
$a_2+a_3+a_4=5$이다.

먼저 $a_2=1+k$인 경우를 살펴보자.

(1) $(a_2,a_3,a_4)=(1+k,1+2k,1+3k)$이면
$4+6k=6$이므로 $k=1/3$이다.
이때 $a_4=2$이고 $a_5=-2<1$이므로 가능하다.

(2) $(a_2,a_3,a_4)=(1+k,1+2k,-1-2k)$이면
$2+k=6$이므로 $k=4$이다.
이때 $a_4=-9$이고 $a_5=-5<1$이므로 가능하다.

(3) $(a_2,a_3,a_4)=(1+k,-1-k,1+k)$이면
$2+k=6$이므로 $k=4$이다.
이때 $a_4=5$이고 $a_5=-5<1$이므로 가능하다.

다음으로 $a_2=-1$인 경우를 살펴보자.

(1) $(a_2,a_3,a_4)=(-1,-1+k,-1+2k)$이면
$-2+3k=6$이므로 $k=8/3$이다.
이때 $a_4=13/3$이고 $a_5=-13/3<1$이므로 가능하다.

(2) $(a_2,a_3,a_4)=(-1,1,1+k)$이면
$2+k=6$이므로 $k=4$이다.
이때 $a_4=5$이고 $a_5=-5<1$이므로 가능하다.

나머지 경우는 첫 네 항의 합이 6이 되지 않는다.
따라서 가능한 양수 k는 $1/3$, $4$, $8/3$이고, 그 합은
$1/3+4+8/3=7$이다.

주어진 등식의 양변에 $\{f(x){\}}^2$를 곱하면 $g(x)=\{f(x){\}}^3+3x\{f(x){\}}^2{f}^{\prime }(x)$이다.
곱의 미분법에 의하여 이는 $g(x)={(x\{f(x){\}}^3)}^{\prime }$와 같다.
첫 번째 조건 ${\int }_1^{2}g(x)dx=58$에 위 식을 대입하면
${\int }_1^2{(x\{f(x){\}}^3)}^{\prime }dx$$={[x\{f(x){\}}^3]}_1^2$$=2\{f(2){\}}^3-1·\{f(1){\}}^3$$=58$이다.
$f(1)=2$이므로 $2\{f(2){\}}^3-8=58$, 즉 $\{f(2){\}}^3=33$이다.
두 번째 조건 ${\int }_1^{2}xg(x)dx=38$에 부분적분법을 적용하면
${\int }_1^{2}x{(x\{f(x){\}}^3)}^{\prime }dx$$={[x^2\{f(x){\}}^3]}_1^2-{\int }_1^{2}x\{f(x){\}}^{3}dx$$=38$이다.
$2^2\{f(2){\}}^3-1^2\{f(1){\}}^3-{\int }_1^{2}x\{f(x){\}}^{3}dx=38$에서
$(4·33-1·8)-{\int }_1^{2}x\{f(x){\}}^{3}dx=38$이므로 $124-{\int }_1^{2}x\{f(x){\}}^{3}dx=38$이다.
따라서 ${\int }_1^{2}x\{f(x){\}}^{3}dx=124-38=86$이다.