MathGenix 2026년 고2 9월 모의고사 대비 시험 05 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

포물선 $y^2=x$와 직선 $y=\frac{1}{n}x$의 교점의 $x$좌표는 $(\frac{x}{n}{)}^2=x$에서 $x^2=n^{2}x$이므로 $x(x-n^2)=0$의 해이다. 원점이 아닌 점 $P_n$의 $x$좌표는 $n^2$이고, $y$좌표는 $y=\frac{1}{n}(n^2)=n$이므로 $P_n(n^2,n)$이다. 포물선 $y^2=x$의 초점 $F$의 좌표는 $(\frac{1}{4},0)$이다. 삼각형 $OF{P}_n$의 넓이 $A_n$은 밑변을 $OF$로 생각하면 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\times n=\frac{n}{8}$이다.
따라서 $A_k=\frac{k}{8}$, $A_{k+1}=\frac{k+1}{8}$이므로, 일반항은 $\frac{1}{A_k{A}_{k+1}}=\frac{1}{\frac{k(k+1)}{64}}=\frac{64}{k(k+1)}$이다. 부분분수분해를 하면 $\frac{64}{k(k+1)}=64(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$이다.
구하는 값은 ${\sum }_k$$=1{\}}^{15}64(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$$=64[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{15}-\frac{1}{16})]$$=64(1-\frac{1}{16})$$=64\times \frac{15}{16}$$=60$이다.

주어진 방정식 $9^x-4·3^{x+1}+27=0$을 지수법칙을 이용하여 정리하면 $(3^x{)}^2-4·3·3^x+27=0$이므로 $(3^x{)}^2-12·3^x+27=0$이다.
$t=3^x$ ($t>0$)로 치환하면 $t$에 대한 이차방정식 $t^2-12t+27=0$을 얻는다. 이 이차방정식의 두 근은 $3^{\alpha }$와 $3^{\beta }$이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $3^{\alpha }·3^{\beta }=27$이다. 따라서 $3^{\alpha +\beta }=3^3$이므로 구하는 값은 $\alpha +\beta =3$이다.

$x\ge 0$에서 $y=|x^2-9|$의 그래프는 $(0,9)$와 $(3,0)$을 지난다.
$x<0$에서 $y=(x+a{)}^2+b$의 꼭짓점은 $(-a,b)$이다.
따라서 $g(t)$의 값이 바뀔 수 있는 지점은
$t=b$, $t=9$, $t=a^2+b$이다.

조건 (가), (나), (다)를 모두 만족하는 경우는
$b<9<a^2+b$이다. 이때 $g(t)$는 다음과 같다.

$0<t<b$일 때 $g(t)=2$
$t=b$일 때 $g(t)=3$
$b<t<9$일 때 $g(t)=4$
$9\le t<a^2+b$일 때 $g(t)=3$
$t\ge a^2+b$일 때 $g(t)=2$

좌극한과 우극한의 차의 절댓값이 2인 지점은 $t=b$이므로
$\alpha =b$이다.

$t=9$에서는 좌극한과 우극한의 차가 $4-3=1$이지만
$g(9)-1=3-1=2$이므로 조건 (나)를 만족하지 않는다.

$t=a^2+b$에서는 좌극한과 우극한의 차가 $3-2=1$이고
$g(a^2+b)-1=2-1=1$이므로 조건 (나)를 만족한다.
따라서 $\beta =a^2+b$이다.

$f(4)=|4^2-9|=7$이고 $f(4)=\alpha +2$이므로
$\alpha =5$이다. 따라서 $b=5$이다.

$\beta =5a+1$이므로
$a^2+b=5a+1$이다.
$b=5$를 대입하면
$a^2-5a+4=0$이고, $(a-1)(a-4)=0$이다.

$9<a^2+b$에서 $a>2$이므로 $a=4$이다.
따라서
$f(-6)=(-6+4{)}^2+5=9$,
$f(3)=|3^2-9|=0$이다.

그러므로 $f(-6)+f(3)=9$이다.