MathGenix 2026년 고2 9월 모의고사 대비 시험 04 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

원의 방정식 $x^2+y^2=2n^2$에 직선의 방정식 $y=x+n$을 대입하여 교점의 $x$좌표를 구하는 이차방정식을 세운다. $x^2+(x+n{)}^2=2n^2$을 정리하면 $2x^2+2nx-n^2=0$이다. 이 이차방정식의 두 근을 ${\alpha }_n,{\beta }_n$이라 하면, 두 교점 $P_n,Q_n$의 좌표는 $({\alpha }_n,{\alpha }_n+n)$, $({\beta }_n,{\beta }_n+n)$이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 ${\alpha }_n+{\beta }_n=-n$, ${\alpha }_n{\beta }_n=-\frac{n^2}{2}$이다. 선분 $P_n{Q}_n$의 길이 $L_n$의 제곱은 $L_n^2$$=({\beta }_n-{\alpha }_n{)}^2+(({\beta }_n+n)-({\alpha }_n+n){)}^2$$=2({\beta }_n-{\alpha }_n{)}^2$이다. $({\beta }_n-{\alpha }_n{)}^2$$=({\alpha }_n+{\beta }_n{)}^2-4{\alpha }_n{\beta }_n$$=(-n{)}^2-4(-\frac{n^2}{2})$$=n^2+2n^2$$=3n^2$이므로, $L_n^2=2·3n^2=6n^2$이다.
따라서 구하는 값은 ${\sum }_k$$=1{\}}^5{L}_k^2$$={\sum }_k$$=1{\}}^{5}6k^2$$=6\times \frac{5(5+1)(2·5+1)}{6}$$=5\times 6\times 11$$=330$이다.

주어진 부등식 $(\frac{1}{4}{)}^{x-9}=(2^{-2}{)}^{x-9}=2^{-2x+18}$이므로, 주어진 부등식은 $2^{x-6}\le 2^{-2x+18}$와 같다.
밑 $2$가 $1$보다 크므로 지수끼리 비교하면 부등호의 방향이 그대로 유지되어 $x-6\le -2x+18$이다.
위 부등식을 정리하면 $3x\le 24$이므로 $x\le 8$이다. 따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 $x$는 $1,2,3,4,5,6,7,8$이므로, 그 합은 $\frac{8(8+1)}{2}=36$이다.

함수 $h(x)=min(f(x),g(x))$가 $x=0,4$에서만 미분가능하지 않으므로 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 $x=0,4$에서만 만난다.
최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $f(x)$에 대하여 $f(x)-g(x)=px(x-4)$ (단, $p<0$)로 놓을 수 있다.
이에 따라 $x\in (0,4)$에서 $h(x)=g(x)$이고, $x\le 0$ 또는 $x\ge 4$에서 $h(x)=f(x)$이다.
$x=4$에서 $h(x)$의 좌미분계수는 $g^{\prime }(4)=2$이고 우미분계수는 $f^{\prime }(4)$이다.
조건 (나)에 의해 $2^2+(f^{\prime }(4){)}^2=40$에서 $(f^{\prime }(4){)}^2=36$, 즉 $f^{\prime }(4)=\pm 6$이다.
$f(x)=p(x^2-4x)+2x+k$에서 $f^{\prime }(x)=2px-4p+2$이므로 $f^{\prime }(4)=4p+2$이다.
$p<0$이므로 $f^{\prime }(4)=4p+2<2$이어야 한다. 따라서 $f^{\prime }(4)=-6$이다.
$4p+2=-6$에서 $p=-2$이다.
닫힌구간 $[0,4]$에서 $h(x)=g(x)=2x+k$이고, 이 구간에서 $g(x)$는 증가하므로 최솟값은 $h(0)=g(0)=k$이다.
주어진 최솟값이 $-1$이므로 $k=-1$이다.
따라서 $f(x)=-2x(x-4)+(2x-1)=-2x^2+10x-1$이다.
$h(5)=f(5)=-2(5^2)+10(5)-1=-1$이고, $h(-1)=f(-1)=-2(-1{)}^2+10(-1)-1=-13$이다.
따라서 구하는 값은 $-h(5)-h(-1)=-(-1)-(-13)=14$이다.