MathGenix 2026년 고1 9월 모의고사 대비 시험 05 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

이차함수 $y=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$의 꼭짓점은 $(1,-1)$이다. 이 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 함수 $y=f(x)$의 그래프의 꼭짓점은 $(1+p,-1+q)$이다. 조건 (가)에 의해 이 꼭짓점은 직선 $y=x-5$ 위에 있으므로, $-1+q=(1+p)-5$에서 $q=p-3$을 얻는다.

$y=f(x)=(x-(1+p){)}^2-1+q$에 $q=p-3$을 대입하면 $f(x)=(x-(p+1){)}^2+p-4$이다. 조건 (나)에 의해 이 그래프는 직선 $y=-2x+1$에 접하므로, 이차방정식 $(x-(p+1){)}^2+p-4=-2x+1$은 중근을 가져야 한다. 식을 정리하면 $x^2-2px+p^2+3p-4=0$이 되고, 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $D/4=(-p{)}^2-(p^2+3p-4)=-3p+4=0$이 성립한다.

따라서 $-3p+4=0$에서 $p=\frac{4}{3}$이고, $q=p-3=\frac{4}{3}-3=-\frac{5}{3}$이다. 그러므로 구하는 값은 $3(p-q)=3(\frac{4}{3}-(-\frac{5}{3}))=3(\frac{9}{3})=9$이다.

주어진 등식은 ${}_n{P}_2{+}_5{C}_3=2{\times }_{n+1}{C}_2$ 이고, $n$은 $n\ge 2$인 자연수이다.
순열과 조합의 정의에 따라 각 항을 계산하면 ${}_n{P}_2=n(n-1)$, ${}_5{C}_3{=}_5{C}_2=\frac{5\times 4}{2}=10$, ${}_{n+1}{C}_2=\frac{n(n+1)}{2}$이다.
따라서 주어진 등식은 $n(n-1)+10=2\times \frac{n(n+1)}{2}$이고, 이를 정리하면 $n^2-n+10=n^2+n$이다.
$2n=10$이므로, 구하는 자연수 $n$의 값은 $5$이다.

원의 중심을 $(t,f(t))$라 하자. 평행이동한 원의 중심은 $(t+m,f(t)+m)$이고, 이 원이 $x$축과 $y$축에 동시에 접하기 위한 조건은 $|t+m|=|f(t)+m|=R$이다. 이로부터 $f(t)-t=0$ 또는 $f(t)-t=\pm 2R$ 임을 알 수 있다. $g(x)=f(x)-x$라 하면, 이차함수 $y=g(x)$의 그래프와 세 직선 $y=0,y=2R,y=-2R$의 교점의 $x$좌표가 총 3개라는 의미이다. 이는 이차함수 $y=g(x)$의 그래프가 $x$축에 접하고, $R>0$이므로 $y=g(x)$가 아래로 볼록하면서 $y=2R$과 두 점에서 만나거나 위로 볼록하면서 $y=-2R$과 두 점에서 만나는 경우이다. 두 경우 모두 $g(x)=a(x-p{)}^2$ 꼴로 나타낼 수 있다.

$g(x)=0$의 중근이 $x_2=p$이고, 다른 두 근 $x_1,x_3$는 $x=p$에 대해 대칭이다. 조건에서 $x_1+x_3=6$이므로 $2p=6$, 즉 $p=3$이다. 또한 $x_3-x_1=8$이므로 두 근은 $p$로부터의 거리가 $4$인 $x_1=-1,x_3=7$이다. $f(x)=g(x)+x=a(x-3{)}^2+x=a{x}^2+(1-6a)x+9a$이다. 직선 $y=7x-27$이 $y=f(x)$의 그래프에 접하므로, 이차방정식 $a{x}^2+(1-6a)x+9a=7x-27$ 즉, $a{x}^2-(6+6a)x+(9a+27)=0$의 판별식 $D$는 0이다. $D$$=(6+6a{)}^2-4a(9a+27)$$=36(1+a{)}^2-36a^2-108a$$=36(1+2a+a^2)-36a^2-108a$$=36+72a-108a$$=36-36a$$=0$에서 $a=1$을 얻는다.

$a=1$이므로 $f(x)=(x-3{)}^2+x=x^2-5x+9$이다. 따라서 구하는 값은 $f(10)={10}^2-5(10)+9=59$이다.