MathGenix 2026년 고1 9월 모의고사 대비 시험 04 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

두 다항식 $P(x),Q(x)$가 모두 $x+b$로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해 $P(-b)=0,Q(-b)=0$이다.
$P(-b)=(-b{)}^4+(-b{)}^3+2(-b)-4=b^4-b^3-2b-4=0$이다.
조립제법을 이용하거나 인수분해하면 $(b+1)(b-2)(b^2+2)=0$이므로, 정수 $b$의 값은 $-1$ 또는 $2$이다.

$Q(-b)=(-b{)}^4+(-b{)}^3+a(-b{)}^2+b(-b)+1=b^4-b^3+a{b}^2-b^2+1=0$이다.
(i) $b=-1$일 때, $1-(-1)+a(-1{)}^2-(-1{)}^2+1=1+1+a-1+1=a+2=0$이므로 $a=-2$이다.
(ii) $b=2$일 때, $16-8+a(4)-4+1=4a+5=0$이므로 $a=-\frac{5}{4}$이다. $a$는 정수라는 조건에 맞지 않다.
따라서 $a=-2,b=-1$이므로 $ab=2$이다.

$P(x)-Q(x)=-a{x}^2+(2-b)x-5=2x^2+(2-(-1))x-5=2x^2+3x-5$이다.
따라서 다항식 $P(x)-Q(x)$를 $x-ab$, 즉 $x-2$로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 $2(2^2)+3(2)-5=8+6-5=9$이다.

문제의 조건에 따라 인수정리와 나머지정리를 적용하면 $P(2)=0$, $P(-1)=6$ 이다.
$P(2)=8+4a+2b-4=0$ 에서 $2a+b=-2$ 이다.
$P(-1)=-1+a-b-4=6$ 에서 $a-b=11$ 이다.
두 식을 연립하여 풀면 $a=3,b=-8$ 이므로 $P(x)=x^3+3x^2-8x-4$ 이다.
$P(1)=1+3-8-4=-8$ 이므로, 구하는 값은 $|P(1)|=|-8|=8$ 이다.

두 이차함수 $f(x)=x^2+2x+3$, $g(x)=-x^2+ax+b$의 그래프에 동시에 접하는 직선을 $y=mx+n$이라 하자.
이차방정식 $x^2+2x+3=mx+n$, 즉 $x^2+(2-m)x+(3-n)=0$의 판별식을 $D_1$이라 하면, $D_1=(2-m{)}^2-4(3-n)=0$이다.
또한 이차방정식 $-x^2+ax+b=mx+n$, 즉 $x^2+(m-a)x+(n-b)=0$의 판별식을 $D_2$라 하면, $D_2=(m-a{)}^2-4(n-b)=0$이다.
$D_1=0$에서 $4(3-n)=(2-m{)}^2$이고, $D_2=0$에서 $4(n-b)=(m-a{)}^2$이다.
두 식을 더하면 $4(3-b)=(2-m{)}^2+(m-a{)}^2$이다. 이 식을 $m$에 대해 정리하면,
$12-4b=4-4m+m^2+m^2-2am+a^2$
$2m^2-(4+2a)m+(a^2+4b-8)=0$
조건 (나)에서 공통접선이 오직 하나 존재하므로, 위 $m$에 대한 이차방정식은 중근을 가져야 한다. 따라서 판별식이 0이어야 한다.
$D_m=(4+2a{)}^2-4(2)(a^2+4b-8)=0$
$4(a+2{)}^2-8(a^2+4b-8)=0$
$(a^2+4a+4)-2(a^2+4b-8)=0$, $-a^2+4a-8b+20=0$, 즉 $a^2-4a+8b-20=0$이다.
한편, $g(x)=-(x^2-ax)+b=-(x-\frac{a}{2}{)}^2+\frac{a^2}{4}+b$이므로, 조건 (다)에 의해 최댓값은 $\frac{a^2}{4}+b=10$이다. 즉 $a^2+4b=40$, $8b=80-2a^2$이다.
이것을 $a^2-4a+8b-20=0$에 대입하면 $a^2-4a+(80-2a^2)-20=0$, $-a^2-4a+60=0$, $a^2+4a-60=0$이다.
$(a+10)(a-6)=0$이고, 조건 (가)에서 $a>0$이므로 $a=6$이다.
$a=6$을 $a^2+4b=40$에 대입하면 $36+4b=40$, $4b=4$, $b=1$이다.
$a=6,b=1$을 $m$에 대한 이차방정식에 대입하면,
$2m^2-(4+12)m+(36+4-8)=0$, $2m^2-16m+32=0$, $m^2-8m+16=0$, $(m-4{)}^2=0$이므로 $m=4$이다.
$m=4$를 $D_1=0$ 식에 대입하면 $(2-4{)}^2-4(3-n)=0$, $4-12+4n=0$, $4n=8$이므로 $n=2$이다.
따라서 $a=6,b=1,m=4,n=2$이고, 구하는 값은 $a+b+m+n=6+1+4+2=13$이다.