MathGenix 2026년 고1 9월 모의고사 대비 시험 03 정답 및 풀이집 | 15·22·30번 상세해설

주어진 삼차방정식의 항을 $k$에 대하여 정리하면 $k(-x^2+4x+5)+(x^3-4x^2-5x)=0$이다.
이 식은 $-k(x^2-4x-5)+x(x^2-4x-5)=0$으로, $(x-k)(x^2-4x-5)=0$으로 인수분해된다.
따라서 $(x-k)(x-5)(x+1)=0$이므로, 서로 다른 세 실근은 $k,5,-1$이다. (단, $k\ne 5,k\ne -1$)
세 근이 등차수열을 이루므로, 세 수 중 하나가 나머지 두 수의 등차중항이 되어야 한다.
(i) $k$가 등차중항일 경우: $k=(-1+5)/(2)=2$. 세 근은 $-1,2,5$이고 조건을 만족한다.
(ii) $5$가 등차중항일 경우: $5=(-1+k)/(2)\Rightarrow 10=k-1\Rightarrow k=11$. 세 근은 $-1,5,11$이고 조건을 만족한다.
(iii) $-1$이 등차중항일 경우: $-1=(5+k)/(2)\Rightarrow -2=5+k\Rightarrow k=-7$. 세 근은 $-7,-1,5$이고 조건을 만족한다.
따라서 가능한 모든 실수 $k$의 값은 $2,11,-7$이므로, 그 합은 $2+11+(-7)=6$이다.

다항식 $P(x)=x^3+a{x}^2+bx+2$가 $x+1$로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해 $P(-1)=0$이다. 또한 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 6이므로 나머지정리에 의해 $P(1)=6$이다.
$P(-1)=-1+a-b+2=0$ 에서 $a-b=-1$이고, $P(1)=1+a+b+2=6$ 에서 $a+b=3$이다. 두 식을 연립하여 풀면 $a=1,b=2$이므로 $P(x)=x^3+x^2+2x+2$이다.
따라서 $P(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 $P(2)$와 같으므로, $P(2)=2^3+2^2+2(2)+2=8+4+4+2=18$이다.

이차함수 $f(x)=a(x-b{)}^2$의 대칭축이 $x=3$이므로 $b=3$이다. 원의 중심 $(x,f(x))$는 두 직선 $x-y=0$과 $7x+y=0$의 각의 이등분선 위에 있어야 한다. 두 직선의 각의 이등분선 방정식은 $\frac{x-y}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\pm \frac{7x+y}{\sqrt{7^2+1^2}}$에서 $y=3x$와 $y=-\frac{1}{3}x$이다. 따라서 세 원의 중심의 $x$좌표 $x_1,x_2,x_3$은 두 방정식 $a(x-3{)}^2=3x$와 $a(x-3{)}^2=-\frac{1}{3}x$의 서로 다른 실근이다.

총 실근의 개수가 3개이므로, 한 방정식은 중근(접함)을, 다른 방정식은 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 방정식 $a(x-b{)}^2=kx$의 판별식은 $D=k(4ab+k)$이다. $b=3$이므로 $D=k(12a+k)$이다. $k=3$일 때 접하면 $12a+3=0$이므로 $a=-\frac{1}{4}$이다. 이때 $k=-\frac{1}{3}$에 대한 판별식은 $D=-\frac{1}{3}(12(-\frac{1}{4})-\frac{1}{3})=\frac{10}{9}>0$이므로 조건을 만족한다. $k=-\frac{1}{3}$일 때 접하면 $12a-\frac{1}{3}=0$이므로 $a=\frac{1}{36}$이다.

$a=-\frac{1}{4}$일 때, $a(x-3{)}^2=3x$의 중근은 $x=\frac{2ab+k}{2a}=\frac{2(-\frac{1}{4})(3)+3}{2(-\frac{1}{4})}=-3$이고, $a(x-3{)}^2=-\frac{1}{3}x$의 두 근의 합은 $\frac{2ab+k^{\prime }}{a}=\frac{2(-\frac{1}{4})(3)-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{4}}$$=\frac{22}{3}$이다. 모든 근의 합은 $-3+\frac{22}{3}=\frac{13}{3}$이므로 문제의 조건에 부합한다. ($a=\frac{1}{36}$일 때 근의 합은 $111$이므로 조건에 맞지 않는다.) 따라서 $f(x)=-\frac{1}{4}(x-3{)}^2$이고, 구하는 값은 $f(7)=-\frac{1}{4}(7-3{)}^2=-4$이다.