MATHGENIX · TODAY’S PROBLEM

오늘의 문제에 도전해 보세요

지문을 충분히 읽고 스스로 풀이한 뒤 정답과 해설을 확인해 보세요.

고1 오늘의 문항수학(하) · 4점

전체집합

U

의 세 부분집합

A, B, C

에 대하여

n (U) = 10

이고 다음 조건이 성립한다.

(가)

n (A - B) = 1

n (B - A) = 2

(나)

n ((A \cup B)^{c}) = 3

(다)

n (B \cap C) = 3

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
<보기>
ㄱ.

n (A \cup C) \geq 5

ㄴ.

n (C) = 3

이면

A \cap C \subset B

이다.
ㄷ.

n (A \cup B \cup C)

의 최댓값과 최솟값의 합은 17이다.

정답

⑤

풀이

출제의도

집합의 연산과 원소의 개수에 대한 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판별하고 식의 최댓값과 최솟값을 구하는 능력을 평가한다.

풀이

조건 (나)에서

n (A \cup B) = n (U) - n ((A \cup B)^{c}) = 10 - 3 = 7

이다.

n (A \cup B) = n (A - B) + n (B - A) + n (A \cap B)

이므로 조건 (가)에 의해

7 = 1 + 2 + n (A \cap B)

, 즉

n (A \cap B) = 4

이다.
따라서

n (A) = n (A - B) + n (A \cap B) = 5

n (B) = n (B - A) + n (A \cap B) = 6

이다.

n (A \cap B \cap C) = x

라 하면, 조건 (다)

n (B \cap C) = 3

에서

n (A^{c} \cap B \cap C) = 3 - x

이다.
또한

n (B - A) = 2

에서

n (A^{c} \cap B \cap C^{c}) = n (B - A) - n (A^{c} \cap B \cap C) = 2 - (3 - x) = x - 1

이다.
각 집합의 원소의 개수는 음이 아닌 정수이므로

x \geq 0

3 - x \geq 0

x - 1 \geq 0

에서

x

는

1 \leq x \leq 3

인 정수이다.

ㄱ.

n (A \cup C) = n (A) + n (C - A) = 5 + n (A^{c} \cap C)

이다.

n (A^{c} \cap C)

= n (A^{c} \cap B \cap C) + n (A^{c} \cap B^{c} \cap C)

= (3 - x) + n (A^{c} \cap B^{c} \cap C)

이다.

n (A^{c} \cap C)

의 최솟값은

x

가 최대(

x = 3

)이고

n (A^{c} \cap B^{c} \cap C)

가 최소(

0

)일 때

0

이므로,

n (A \cup C)

의 최솟값은

5 + 0 = 5

이다. (참)

ㄴ.

n (C) = 3

이면 조건 (다)

n (B \cap C) = 3

과

B \cap C \subset C

이므로

C \subset B

가 성립한다. 따라서

A \cap C \subset C \subset B

이므로

A \cap C \subset B

이다. (참)

ㄷ.

n (A \cup B \cup C) = n (A \cup B) + n (C - (A \cup B)) = 7 + n (A^{c} \cap B^{c} \cap C)

이다. 조건 (나)에서

n (A^{c} \cap B^{c}) = 3

이므로, 부분집합의 성질에 의해

0 \leq n (A^{c} \cap B^{c} \cap C) \leq 3

이다. 주어진 조건들을 만족하면서

n (A^{c} \cap B^{c} \cap C)

는

0

부터

3

까지 모든 정수 값을 가질 수 있다. 따라서

n (A \cup B \cup C)

의 최솟값은

7 + 0 = 7

, 최댓값은

7 + 3 = 10

이다. 두 값의 합은

10 + 7 = 17

이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

고2 오늘의 문항수학Ⅱ · 4점

곡선

y = - x^{2} + 4 x

와

x

축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선

y = k x

가 이등분할 때, 상수

k

의 값은?

정답

④

풀이

출제의도

정적분을 이용하여 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 계산하고, 넓이 이등분 조건으로부터 미지수의 값을 구하는 문제 해결 능력을 평가한다.

풀이

곡선

y = - x^{2} + 4 x

와

x

축의 교점은

- x^{2} + 4 x = 0

에서

x = 0, 4

이다.
곡선과

x

축으로 둘러싸인 도형의 전체 넓이를

S

라 하면,

S

= \int_{0}^{4} (- x^{2} + 4 x) d x

= [- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}]_{0}^{4}

= - \frac{64}{3} + 32

= \frac{32}{3}

이다.
직선

y = k x

가 이 넓이를 이등분하므로, 곡선

y = - x^{2} + 4 x

와 직선

y = k x

로 둘러싸인 부분의 넓이는

\frac{S}{2} = \frac{16}{3}

이다.
곡선

y = - x^{2} + 4 x

와 직선

y = k x

의 교점의

x

좌표는

- x^{2} + 4 x = k x

에서

x^{2} + (k - 4) x = 0

이므로

x = 0, x = 4 - k

이다.
따라서 두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는

\int_{0}^{4 - k} ((- x^{2} + 4 x) - k x) d x

= \int_{0}^{4 - k} (- x^{2} + (4 - k) x) d x

= \frac{| - 1 |}{6} ((4 - k) - 0)^{3}

= \frac{(4 - k)^{3}}{6}

이다.

\frac{(4 - k)^{3}}{6} = \frac{16}{3}

이므로,

(4 - k)^{3} = 32

이다.

4 - k = \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8 \times 4} = 2 \sqrt[3]{4}

그러므로

k = 4 - 2 \sqrt[3]{4}

이다.

고3 확률과 통계 오늘의 문항확률과 통계 · 4점

두 사건

A

B

에 대하여

P (A) = \frac{3}{5}

P (B | A) = \frac{1}{3}

이고

P (A^{C} \cap B) = \frac{1}{4}

일 때,

P (A | B)

의 값은?

정답

④

풀이

출제의도

조건부확률의 정의와 확률의 덧셈정리를 이용하여 다른 조건부확률의 값을 구할 수 있는지 평가한다.

풀이

조건부확률의 정의에 따라

P (A \cap B)

를 구하면 다음과 같습니다.

P (A \cap B) = P (B | A) P (A) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}

사건

B

는 서로 배반인 두 사건

A \cap B

와

A^{C} \cap B

의 합사건이므로, 확률의 덧셈정리에 의해

P (B)

를 구할 수 있습니다.

P (B)

= P (A \cap B) + P (A^{C} \cap B)

= \frac{1}{5} + \frac{1}{4}

= \frac{4 + 5}{20}

= \frac{9}{20}

따라서 구하고자 하는 조건부확률

P (A | B)

의 값은 다음과 같습니다.

P (A | B)

= \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{9}{20}}

= \frac{1}{5} \times \frac{20}{9}

= \frac{4}{9}

고3 미적분 오늘의 문항미적분 · 4점

함수

f (x) = e^{x} (x^{2} - a x + b)

에 대하여,

f (x)

가 감소하는 구간이

[α, β]

이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가)

1 \in [α, β]

(나)

β - α = 2

b - 2 a

의 최댓값은?

정답

③

풀이

출제의도

초월함수의 도함수를 이용하여 함수의 증가와 감소를 판정하고, 주어진 조건을 만족시키는 미정계수의 범위를 찾아 특정 식의 최댓값을 구할 수 있는지를 평가한다.

풀이

함수

f (x)

를 미분하면

f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} - a x + b) + e^{x} (2 x - a) = e^{x} (x^{2} + (2 - a) x + b - a)

이다.

e^{x} > 0

이므로 함수

f (x)

가 감소하는 구간은 이차함수

g (x) = x^{2} + (2 - a) x + b - a

가

g (x) \leq 0

을 만족시키는 구간과 같다.

f (x)

가 감소하는 구간이

[α, β]

이므로,

α, β

는 이차방정식

x^{2} + (2 - a) x + b - a = 0

의 두 실근이다.
근과 계수의 관계에 의하여

α + β = a - 2

α β = b - a

이다.
조건 (나)에서

β - α = 2

이므로,

(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β

를 이용하면

2^{2} = (a - 2)^{2} - 4 (b - a)

4 = a^{2} - 4 a + 4 - 4 b + 4 a

4 = a^{2} - 4 b + 4

, 따라서

a^{2} = 4 b

즉,

b = \frac{a^{2}}{4}

이다.

조건 (가)에서

1 \in [α, β]

이므로,

g (1) \leq 0

이어야 한다.

g (1) = 1 + (2 - a) + b - a = 3 - 2 a + b \leq 0

b \leq 2 a - 3

b = \frac{a^{2}}{4}

를 대입하면,

\frac{a^{2}}{4} \leq 2 a - 3

a^{2} \leq 8 a - 12

a^{2} - 8 a + 12 \leq 0

(a - 2) (a - 6) \leq 0

따라서

a

의 값의 범위는

2 \leq a \leq 6

이다.

구하고자 하는 식은

b - 2 a

이고,

b = \frac{a^{2}}{4}

이므로

b - 2 a = \frac{a^{2}}{4} - 2 a

이다.

h (a) = \frac{1}{4} a^{2} - 2 a = \frac{1}{4} (a^{2} - 8 a) = \frac{1}{4} (a - 4)^{2} - 4

라 하자.

h (a)

는

a = 4

일 때 최솟값을 갖고, 꼭짓점에서 멀리 떨어진 정의역의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

a = 2

일 때,

h (2) = \frac{1}{4} (2 - 4)^{2} - 4 = 1 - 4 = - 3

a = 6

일 때,

h (6) = \frac{1}{4} (6 - 4)^{2} - 4 = 1 - 4 = - 3

따라서

b - 2 a

의 최댓값은

- 3

이다.